A distribution framework for the generalized Fourier transform associated with a Sturm–Liouville operator

The generalized Fourier transform associated with a selfadjoint Sturm–Liouville operator is a unitary transformation which converts the action of this operator into a simple product by a spectral variable. For a particular operator defined on the half-line and which involves a step function, we show how to extend such a transformation to generalized functions, or distributions, with a suitable definition of such distributions. This extension is based essentially on the fact that, as the usual Fourier transform, this transformation has the property to exchange regularity and decay between the physical and spectral variables. Key-words: distributions, generalized Fourier transform ∗ ENSTA / POEMS, 32 Boulevard Victor, 75015 Paris, France. Email: [email protected] Un espace de distributions pour la transformation de Fourier généralisée associée à un opérateur de Sturm–Liouville Résumé : La transformation de Fourier généralisée associée à un opérateur de Sturm–Liouville auto-adjoint est une transformation unitaire qui convertit l’action de cet opérateur en une simple multiplication par une variable spectrale. Dans le cas particulier d’un opérateur défini sur la demi-droite réelle dont les coefficients prennent deux valeurs constantes de part et d’autre d’un point, on montre comment une telle transformation peut être prolongée aux distributions, moyennant une définition convenable de ces distributions. Ce prolongement repose essentiellement sur le fait que, comme pour la transformation de Fourier habituelle, cette transformation possède la propriété d’échanger régularité et décroissance entre les variables physiques et spectrales. Mots-clés : distributions, transformation de Fourier généralisée Distribution framework for a generalized Fourier transform 3